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1. Getriebenes gedämpftes Pendel Auch das sinusförmig angetriebene, gedämpfte Pendel ist ebenso wie das Lorenz-System ein System mit kontinuierlicher Zeitskala und drei Freiheitsgraden. Seine Bewegung beschreibt folgendes Differentialgleichungssystem: Im Gegensatz zum Lorenzsystem gibt es hier einen Freiheitsgrad, die Antriebsphase , der von den anderen Freiheitsgraden unabhängig ist (3. Zeile des Differentialgleichungssystems), denn der Antrieb erfolgt gleichmäßig durch ein von außen auf die Pendelachse aufgeprägtes sinusförmiges Drehmoment und ist unabhängig von momentanem Winkel und Winkelgeschwindigkeit. Ein solches System heißt nicht-autonom. Ein weiterer Unterschied zum Lorenzsystem liegt in der Periodizität des Phasenraums. Es genügt, Antriebsphase und Winkel x jeweils auf das Intervall [- ... ] zu beschränken, da es zur Festlegung des Pendelzustands unerheblich ist, wieviel Antriebsperioden bereits vergangen sind und ob und wie oft sich das Pendel überschlagen hat. Abhängig von der Stärke und Periode des Antriebs kann das Pendel ganz unterschiedliche Attraktoren ausbilden. Bei verschwindendem Antrieb ist die Ruhelage stabiler Fixpunkt der Bewegung (in diesem Grenzfall reduziert sich der Phasenraum auf 2 Freiheitsgrade, da der Antrieb wegfällt). Bei kleiner Antriebsperiode folgt das Pendel mit einer gewissen Phasenverschiebung dem antreibenden Moment, der Attraktor ist dann ein stabiler periodischer Orbit, gegen den jede Trajektorie des Pendels nach einem Einschwingvorgang konvergiert. Bei geeigneter Wahl der Antriebsparameter kann das Pendel aber auch ganz irreguläre Bewegungen vollführen, sich überschlagen und scheinbar regellos bewegen. In dieser chaotischen Phase folgt die Trajektorie einem seltsamen Attraktor.
Ein solches angetriebenes Pendel wurde am Physikalischen Institut der Uni Frankfurt experimentell realisiert [Heng92] und dient dort seit über 10 Jahren als Demonstrationsobjekt [Heng94], [Hübinger94], [Doerner94]. Unter anderem wurden an diesem Aufbau Untersuchungen zur Vorhersagbarkeit [Doerner93], [Doerner94b], [Doerner99], [Doerner99b] durchgeführt und Methoden zur Steuerung chaotischer Bewegungen getestet [Hübinger93], [Hübinger94a], [Doerner95]
Der Schnitt des Pendel-Attraktors (bei den gleichen Systemparametern) mit einer Poincaré-Ebene , deren Phase mit der Zeit immer weiterläuft, so daß sich der Eindruck eines Filmes ergibt. Der Poincaré-Schnitt ist mehrmals nebeneinander gedruckt, so daß die Periodizität im Auslenkungswinkel schön sichtbar wird.
Der effektive Lyapunov-Exponent ist ein Maß für die Vorhersagbarkeit der Pendelbewegung in der nächsten Zukunft. Hier ist er für eine Vorhersagezeit von 1 Antriebsperiode auf einer Poincaré-Ebene . dargestellt, deren Phase mit der Zeit immer weiterläuft, so daß sich der Eindruck eines Filmes ergibt. Der Poincaré-Schnitt ist auch hier wieder mehrmals nebeneinander gedruckt, um die Periodizität im Auslenkungswinkel hervorzuheben.
2. Doppelpendel (ohne Antrieb und ohne Dämpfung) Dieses konservative System besteht aus einem größeren Pendel und einem kleinerem Pendel, dessen Drehachse mit dem Ende des größeren verbunden ist. Beide Pendel schwingen in der gleichen Ebene, Überschläge sind möglich. Der idealisierte Fall eines ungedämpften Pendels wird durch das folgende Gleichungssystem beschrieben:
Appendix: Vom physischen getriebenen Pendel zur dimensionslosen Pendelgleichung Die physikalischen Größen, die ein angetriebenes Pendel charakterisieren, sind sein Massenträgheitsmoment I (mit der Maßeinheit kg m2), seine Dämpfung (mit der Maßeinheit kg m2s-1), das Rückstellmoment M, das es bei Auslenkung um den Winkel 90° erfährt (mit der Maßeinheit N m = kg m2s-2) und das sinusförmig antreibende Drehmoment mit der Amplitude A (ebenfalls mit der Maßeinheit N m = kg m2s-2 ) und der Kreisfrequenz (mit der Maßeinheit s-1 ). Mit diesen Größen lautet die Bewegungsgleichung:
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