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Das Glossar wird laufend erweitert. Neue Begriffe, die zunächst in grau erscheinen, werden innerhalb der nächsten Wochen mit Inhalt gefüllt.

 

A

Adaptive Chaos-Steuerung

Genauer : Adaptive Orbit-Korrektur während der Steuerung einer chaotischen Bewegung. Verfahren, um schrittweise genauere Näherungen eines IPOs zu erhalten, auf den ein chaotisches System mittels der OGY-Methode oder der lokalen Steuerung gesteuert wird oder auch, um bei langsam driftenden Systemparametern die Steuerung aufrecht zu erhalten. Einen solchen IPO eines experimentellen Systems kennt man meist nur näherungsweise, entweder wurde er aus einer approximativen Bewegungsgleichung des Systems berechnet oder aus einer Zeitreihe extrahiert. Dieser angenäherte IPO weicht mehr oder weniger stark von dem unbekannten echten IPO ab, was ein nicht verschwindendes mittleres Steuerungssignal <> zur Folge hat [Schwartz92]. Die Bahn, die das gesteuerte System bechreibt, der durchlaufene IPO , weicht wiederum von beiden, vom echten und vom angenäherten IPO ab. Die Idee der adaptiven Chaos-Steuerung besteht darin, aus der Größe <> und dem  durchlaufenen IPO den echten IPO zu ermitteln [Doerner95].

Beispiel: ein IPO eines niedrig-dimensionalen chaotischen Systems schneidet eine gewählte Poincaré-Ebene im Punkt xF(p0), wobei p0 der Wert des Systemparameters ist, der auch zur Steuerung des Systems dienen soll. xF ist nicht genau bekannt, man hat aber als Näherung den Punkt zF. Wenn das System nun mittels OGY-Methode gesteuert wird, schneidet seine Trajektorie (nach Abklingen transienter Vorgänge) die Poincaré-Ebene im Punkt  zinf  bei einem nicht verschwindenden Steuersignal <>inf  und es gilt:

zinf - xF = A (zinf - xF) + <>inf  w

mit der Jacobimatrix A der Poincaré-Abbildung am Punkt xF und der Ableitung w der Poincaré-Abbildung nach dem Steuerparameter p. Unter der Voraussetzung, daß A und w (die man auch nur näherungsweise kennt) sich in einer kleinen Umgebung von xF wenig ändern, erhält man so eine verbesserte Abschätzung für xF:

xF = zinf  -  (1-A)-1<>inf  w

Die 1 bedeutet hier die Einheitsmatrix.

 

Apfelmännchen

Populärer Name für die Mandelbrotmenge, deren Silhouette einem solchen ähnlich sieht.

 

Attraktionsbasin

Im allgemeinen wirkt ein Attraktor nicht auf alle Trajektorien attraktiv, sondern nur auf solche, die von einer Untermenge des Phasenraums ausgehen. Diese Untermenge heißt Einzugs- oder Attraktionsbasin des Attraktors. Es können bei einem gegebenen Satz von Systemparametern auch mehrere Attraktoren nebeneinander existieren. Ein Beispiel dafür ist ein (nicht getriebenes) sphärisches Pendel, das über 3 symmetrisch aufgestellten Magneten hängt, die das Pendel anziehen (nichtlineares Kraftgesetz!). Abhängig vom Startpunkt kommt das ausgelenkte Pendel schließlich über dem einen oder dem anderen Magneten zur Ruhe. Die 3 Attraktionsbasins sind in diesem Beispiel Fraktale, die einander auf komplizierte Weise durchdringen. Einfacher ist die Situation beim getriebenen Pendel. Hier gibt es genau einen Attraktor - je nach Systemparametern fraktal oder nicht - und der gesamte Phasenraum bildet das Attraktionsbasin.

 

Attraktor (, seltsamer)

Punktmenge im Phasenraum eines dissipativen Systems, gegen die benachbarte Trajektorien konvergieren. Ein sehr einfacher Attraktor ist die Ruhelage des ungetriebenen Pendels - unabhängig von seiner Auslenkung kommt das Pendel dort irgendwann zur Ruhe. Neben solchen Fixpunkt-Attraktoren gibt es attraktiv wirkende periodische Orbits (z.B. die fast harmonische Schwingung eines genügend schwach angetriebenen Pendels) und natürlich fraktale Attraktoren, die aufgrund ihrer Fraktalität auch seltsam genannt werden. Beispiele zeigen die Applets zu den vier Systemen auf dieser website. Als Folge des Satzes von Liouville ist die Dimension eines Attraktors immer kleiner als die des umgebenden Phasenraums.

 

B

Belouzov-Zabotinskij-Reaktion

Sie ist ein Beispiel für ein chaotisches System in der Chemie. In diesem Prozess wird in einem Durchflußreaktor eine organische Substanz in der Anwesenheit von Ce4+ und Ce3+ - Ionen durch Bromationen oxydiert. Abhängig von der Durchflußgeschwindigkeit und der Konzentration der Reaktanten kommt es dabei zu einer (sichtbaren) periodischen oder chaotischen Veränderung der Ce4+ - Konzentration [Roux81], [Epstein83], [Schuster88]. Eine Auflistung aller 18 (!) Elementarreaktionen, ein Schema des Versuchsaufbaus und eine Fotoserie des Reaktionsverlaufs sind in [Epstein83b] zu finden.

.

Bifurkation

Qualitative Änderung der Systemdynamik bei bestimmten Parameterwerten, siehe strukturelle Stabilität.

 

C

Cantor-Menge

oder Cantorsches Diskontinuum: Diejenige Menge reeller Zahlen, die übrigbleibt, wenn man aus dem Intervall [0 ... 1] das mittlere (offene) Drittel entfernt, dann aus den beiden verbliebenen Teilintervallen wieder je das mittlere Drittel u.s.w. Was übrigbleibt ist schließlich die Menge reeller Zahlen, die sich durch eine unendliche Reihe a1 /3 + a2/32 + a3/33 + ... mit Koeffizienten ai = 0 oder 2 darstellen lassen. Die Cantormenge ist ein Fraktal, an dem sich gut der Begriff der fraktalen Dimension veranschaulichen läßt.

 

Chaos, deterministisches

Der Begriff des (deterministischen) Chaos in der nichtlinearen Dynamik hat nur wenig mit dem komplexen oder sogar regellosen Durcheinander zu tun, das er umgangssprachlich bezeichnet. Vielmehr geht es dabei um Systeme, deren zeitliche Entwicklung mehr oder weniger einfachen Bewegungsgleichungen folgt (z. B. die vorgestellten Gleichungen des Pendels oder Lorenzsystems). Wenn man diese Gleichungen und  einen vollständigen Satz von Anfangsbedingungen (z. B. die Parameter X, Y und Z des Lorenzsystems zur Zeit t = 0) kennt, kann man durch Integration der Bewegungsgleichungen im Prinzip die Systementwicklung für alle Zukunft berechnen, d. h. vorhersagen (oder auch in die Vergangenheit zurückrechnen) - das Systemverhalten ist determiniert.

Die Anfangsbedingungen lassen sich allerdings nie beliebig genau bestimmen, ihre Messung unterliegt der Meßgenauigkeit  der verwendeten Methode, der auch bei größter Anstrengung letztlich durch die Heisenbergsche Unschärferelation eine prinzipielle Grenze gesetzt ist. Oft beeinträchtigt dieser Meßfehler die Genauigkeit der berechneten zukünftigen Systementwicklung kaum. Bei deterministisch-chaotischem Systemverhalten jedoch führt er zu einem im zeitlichen Mittel exponentiellen Auseinanderlaufen von vorhergesagter und tatsächlicher Trajektorie. Ebensowenig, wie sich die Anfangsbedingungen beliebig genau messen lassen, gelingt es, mehrere ansonsten identische chaotische Systeme mit den exakt gleichen Anfangsbedingungen zu präparieren. Nach Verstreichen einer Zeit, die von den Systemparametern, aber auch von den Anfangsbedingungen selbst abhängt (s. Vorhersagbarkeit) unterscheiden sich die Zustände der einzelnen Systeme völlig, da die minimalen Differenzen der Systemparameter mit der Zeit wieder im Mittel exponentiell anwachsen. Diese Systemeigenschaft nennt man sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Sie ist das wesentliche Merkmal des determinischen Chaos.

Die Untersuchung des deterministisches Chaos im beschriebenen Sinn ist Gegenstand der nichtlinearen Dynamik. (Eine umfassende Darstellung eines weiter gefaßten Chaosbegriffs unter philosophischen und erkenntnistheoretischen Aspekten findet sich z.B. in [Leiber96]).

 

Chua-Oszillator

Ein nichtlineares, autonomes System, das folgenden Differentialgleichungen genügt:

dX/dt = p [Y - (b+1)X - 0.5(a-b)(|X+1|-|X-1|)]

dY/dt = X - Y + Z

dZ/dt = -qY

Durch die Betragsfunktionen in der ersten Zeile ist dieses Gleichungssystem nichtlinear. Das System, das nach Leon O. Chua benannt ist, läßt sich experimentell leicht als elektrischer Schwingkreis realisieren. Je nach Einstellung der Systemparameter zeigt es verschiedene Attraktoren, auch eine Periodenverdopplungsroute ins Chaos läßt sich gut demonstrieren. Einen Überblick über Experimente, die an diesem System durchgeführt wurden, gibt [Madan93]. In [Kennedy92] findet man einen Aufbau mit elektronischen Standardbausteinen, der sich z.B. für Demonstrations- oder Unterrichtszwecke leicht nachbauen läßt. Das entstehende chaotische Signal hat eine Grundfrequenz von einigen kHz und läßt sich mit einem Oszilloskop darstellen. Hier eine Darstellung des typischen “Zwei-Schnecken-Attraktors”:
Der Attraktor kann mit gedrückter linker Maustaste gedreht werden. Der umgebende Kasten hat die Koordinaten -5 < X <5, -1<Y <1 und -8 < Z < 8.

 

D

Delaykoordinaten

Auch ohne die explizite Kenntnis des Phasenraums oder sogar der Bewegungsgleichungen eines dynamischen Systems lassen sich allein auf der Grundlage einer chaotischen Zeitreihe X(ti) einer Meßgröße weitreichende Aussagen über das System treffen. Wie in [Takens80] vorgeschlagen, rekonstruiert man dazu einen n-dimensionalen Ersatzphasenraum, dessen Koordinaten zeitlich äquidistante Werte der gemessenen chaotischen Systemvariablen sind. Die chaotische Zeitreihe enthält die N Meßpunkte {X(t1), X(t2 ), ..., X(tN)}, mit konstantem zeitlichem Abstand (“sample time”) . Die n-Tupel bilden nun eine Trajektorie im Ersatzphasenraum, die bei geeigneter Wahl der Einbettungsdimension n und Delayzeit die metrischen Eigenschaften der Originaltrajektorie besitzt. Das soll heißen, daß Punkte, die im Originalphasenraum benachbart sind, auf einander benachbarte Punkte im Ersatzphasenraum abgebildet werden. Die Kunst besteht darin, optimale Werte für n und m zu finden, siehe z.B. [Broomhead86] oder [Liebert89]. Das folgende Applet veranschaulicht den Einfluß der Delayzeit auf die Qualität der Rekonstruktion:

Mit gedrückter linker Maustaste läßt sich der rekonstruierte dreidimensionale Phasenraum drehen. Dargestellt werden 3000 Punkte aus einer Zeitreihe von 150000 äquidistanten Werten der X-Koordinate des Lorenzsystems in einem Kasten mit der Kantenlänge 60. Die sample time ist die Schrittweite des zur Integration verwendeten Runge-Kutta-Verfahrens. Mit dem Scrollbar läßt sich die zur Rekonstruktion verwendete Delayzeit zwischen dem 1- fachen und dem 50-fachen der sample time variieren. Bei sehr kurzer Delayzeit unterscheiden sich die Werte der drei Koordinaten jedes Punktes kaum voneinander und der Attraktor ist dicht um die Hauptdiagonale des umgebenden Kastens. Eine gute Rekonstruktion erreicht man bei ca. der 8-fachen sample time. Es sind gut die beiden flachen Flügel des Attraktors zu erkennen. Bei längeren Delayzeiten faltet sich diese Struktur in komplizierter Weise, so daß Punkte die im Originalphasenraum weit auseinander liegen, benachbart sind. 

Mit Hilfe einer rekonstruierten Zeitreihe lassen sich z. B. Lyapunovspektren gewinnen [Brown91], instabile periodische Orbits extrahieren [Lathrop89], kurzzeitige Vorhersagen erstellen [Farmer87], [Abarbanel90], oder die phasenräumliche Verteilung der Vorhersagbarkeit analysieren [Doerner93]. Weitere Details zur Phasenraumrekonstruktion findet man z.B. in [Frank89] oder [Abarbanel96].

 

Dimension, fraktale

Die Dimension eines Objektes, ob fraktal oder nicht, läßt sich durch einen recht anschaulichen Algorithmus bestimmen, das Box-Zählverfahren. Das zu vermessende Objekt wird mit einem geeigneten (1-, 2-, 3- oder höherdimensionalen) Gitter bedeckt und die Gitterzellen, die einen Teil des Objektes enthalten, werden gezählt. Dann wird die Maschenweite l des Gitters sukzessive verringert und die Zahl M(l) der bedeckenden Zellen für jede Maschenweite bestimmt. Diese Zahl wächst exponentiell und man definiert als Dimension:

Man macht sich diesen Zusammenhang leicht im Gedankenexperiment anhand eines Punktes, einer Linie, einer Fläche oder eines dreidimensionalen Körpers klar, für die sich die Dimensionen 0, 1, 2 und 3 ergeben. Nimmt man aber z.B. einen Schwamm, der auf den ersten Blick raumfüllend, also dreidimensional erscheint, so stellt man fest, daß die Gitterzellen, je kleiner sie werden, immer häufiger in Zwischenräumen und Poren liegen, von denen sich auf immer kleineren Skalen immer neue auftun - jedenfalls bei einem mathematisch idealisierten Schwamm. Diese Zellen zählen dann nicht als bedeckend mit und so ergibt sich eine Dimension, die kleiner als drei, aber größer als zwei ist, eine fraktale Dimension.

Die oben definierte Dimension DK heißt auch Kapazität oder Hausdorff-Dimension. Eine Verallgemeinerung dieses Dimensionsbegriffs führt auf die Renyi-Dimensionen [Grassberger83], die folgendermaßen definiert sind:

Darin bedeutet pi anschaulich den “Anteil” des Objektes, den die i-te Zelle enthält. Die Summe wird nur über die M(l) Zellen gebildet, die Teile des Objektes enthalten. Für q = 0 erhält man wieder die oben definierte Kapazität DK = D0. Aber auch andere Werte von q ergeben Dimensionen mit anschaulicher Bedeutung. D1 erhält man im Grenzübergang (mit der Regel von l’Hopital) als
Die Summe im Zähler läßt sich als die Menge an Information (im Sinne von [Shannon49]) interpretieren, die man durch die Kenntnis der pi besitzt. D 1 heißt daher auch Informationsdimension. Für q = 2 ergibt sich die Korrelationsdimension
Die Summe in diesem Ausdruck läßt sich deuten als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei gegebene Punkte innerhalb der gleichen Zelle liegen, oder anders ausgedrückt, daß zwei gegebene Punkte einen Abstand kleiner als l haben.

 

dissipativ

Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn die Divergenz seines Flussfeldes (wenigstens im zeitlichen Mittel) negativ ist. Typischerweise sind Reibungskräfte für die Dissipation verantwortlich, die der Bewegung entgegengesetzt gerichtet sind. Dem System wird durch diese Reibung laufend kinetische Energie entzogen und in Wärme umgewandelt. Ein dissipatives dynamisches System bleibt nur dann in Bewegung, wenn ihm von außen laufend Energie zugeführt wird. (Bsp.: das getriebene gedämpfte Pendel kommt bald zum Stillstand, wenn der Antrieb abgeschaltet wird). Siehe auch als Gegensatz: konservativ. Eine Abbildung ist dann dissipativ, wenn die Determinante ihrer Jacobimatrix vom Betrag her kleiner als 1 ist (Beispielrechnung für Hénon-Abbildung).

 

Drei-Körper-Problem

 

Duffing-Oszillator

Ein nichtlinearer Oszillator, dessen Gleichung einen kubischen Term enthält, der die Verhärtung mechanischer Federn bei Biegung außerhalb des linearen Bereichs modellieren soll [Duffing18]. Ähnlich wie das getriebene Pendel handelt es sich um ein nicht-autonomes System mit periodischem äußeren Antrieb. Die Bewegungsgleichung lautet:

Experimentell läßt sich dieses System durch eine Blattfeder realisieren, die an einem Ende eingespannt ist und dort periodisch hin- und herbewegt wird (Bewegung senkrecht zur Feder) und deren anderes Ende sich im Feld zweier Magnete bewegt. Auch dieses System zeigt, abhängig von den Systemparametern, Fixpunkte, periodische Orbits und seltsame Attraktoren, siehe z. B. [Guckenheimer83]. Experimente zur Steuerung dieses Systems im chaotischen Bereich sind in [Dressler95] und [Schweinsberg97] beschrieben.

 

E

 

Einbettung einer Zeitreihe

siehe Delay-Koordinaten .

 

Ergodentheorem

 

F

Feigenbaumkonstanten

Für die Bifurkationspunkte von Abbildungen mit einem quadratischen Maximum, wie z. B. die logistische Abbildung, gelten folgende Regeln [Grossmann77], [Feigenbaum78]:

  • der Quotient der Abstände zweier aufeinander folgender Bifurkationspunkte konvergiert gegen die Feigenbaumkonstante = 4.6692016...
  • Zyklen, die das Maximum der Abbildung enthalten, heißen Superzyklen. Der Quotient der Abstände von Systemparameterwerten, bei denen Superzyklen vorliegen, konvergiert ebenfalls gegen .
  • eine weitere Regel betrifft den Abstand den in einem Superzyklus das Urbild des Maximums (z.B. der Wert 1/2 in der logistischen Abbildung) vom nächstgelegenen Punkt dieses Superzyklus hat. Der Quotient dieser Abstände in aufeinanderfolgenden Superzyklen konvergiert gegen die Feigenbaumkonstante = 2.5029078...

Am Java-Applet der logistischen Abbildung lassen sich Superzyklen z.B. für folgende Systemparameterwerte finden: r=2.0, r=3.236..., r=3.498..., r=3.831...

 

Fluss, Flussfeld, linearisierter Fluss

Die Bewegungsgleichungen eines dynamischen System lassen sich ganz allgemein als dx/dt = F(x) schreiben, wobei x ein Systemzustand und x und F vektorwertig sind. Die Funktion F(x) heißt  dann das Flussfeld der Bewegung.

Die Menge {ft} der Lösungen dieser Differentialgleichungen für alle Anfangsbedingungen x und ein festes Zeitintervall t heißt der zu t gehörende Fluss des Systems. Er ist im allgemeinen global unbekannt, aber lokal, also für einzelne x durch numerische Integration der Bewegungsgleichung bestimmbar.

Die zeitliche Entwicklung eines zu einer Anfangsbedingung x(0) (infinitesimal) eng benachbarten Punktes x(0)+(0) ist durch den linearisierten Fluss Dft gegeben:

 

Fraktal

 

G

Grassberger-Procaccia-Analyse

 

H

Hamiltonsches Chaos

 

Hausdorff-Dimension

Anderer Name für die Kapzität DK eines Attraktors, s. Dimension, fraktale .

 

Henon-Heiles-System

 

Homokliner Orbit

Die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit eines instabilen Fixpunktes einer Abbildung können bei bestimmten Systemparameterwerten zusammenfallen oder sich unter einem von Null verschiedenen Winkel (“transversal”) schneiden. Ein solcher Schnittpunkt heißt homokliner Punkt des Fixpunktes (siehe z.B. [Leven89]). Die Iterationen eines homoklinen Punktes sind, ebenso wie seine Urbilder, auch homokline Punkte, liegen also auch sowohl auf der stabilen als auch der instabilen Mannigfaltigkeit des Fixpunktes. Die Menge dieser Iterationen und Urbilder heißt homokliner Orbit des Fixpunktes.

Auch bei zeitkontinuierlichen Systemen treten homokline Orbits auf. So führt z.B. die instabile Mannigfaltigkeit des Fixpunktes, den das ungetriebene, ungedämpfte Pendel an seiner höchsten Position hat (Auslenkung von 180°), wieder zu diesem Punkt zurück und bildet so gleichzeitig seine stabile Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel für den Verlauf einer Trajektorie in der Nähe eines nichttransversalen homoklinen Orbits zeigt auch das Java-Applet zum Lorenzsystem. Die Existenz eines transversalen homoklinen Orbits ist sogar (notwendige, aber nicht hinreichende) Voraussetzung für das Auftreten eines seltsamen Attraktors [Guckenheimer83].

Von heteroklinen Orbits spricht man, wenn die stabile Mannigfaltigkeit eines IPOs oder Fixpunktes die instabile Mannigfaltigkeit eines anderen IPOs oder Fixpunktes schneidet.

 

Hyperchaos

Nichtlineare dynamische Systeme, deren Lyapunovspektrum zwei (oder mehr) positive Exponenten enthält, werden mitunter als hyperchaotisch bezeichnet.

 

I

Ikeda-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung der komplexen Zahlenebene auf sich selbst:

Sie beschreibt das Lichtfeld, das einen Ringresonator verläßt, der von Laserpulsen gespeist wird und ein nichtlineares Dielektrikum enthält [Hammel85]. Da die zn komplexe Zahlen mit voneinander unabhängigem Real- und Imaginärteil sind, ist diese Gleichung zweidimensional. i ist die imaginäre Einheit. Für eine geeignete Wahl der Systemparameter, z.B.  folgt die Reihe der zn einem chaotischen Attraktor:

Mit Mausklick kann man in den Attraktor hineinzoomen. Wenn der Mauszeiger den Rahmen wieder verläßt, springt der Bildausschnitt auf die Anfangswerte zurück.

 

 

IPOs - instabile periodische Orbits

(engl.: UPOs) In einem chaotischen Attraktor sind unendlich viele instabile periodische Orbits eingebettet, der Attraktor bildet den Abschluß der Menge dieser Orbits [Ruelle78]. Diese Orbits lassen sich hierarchisch anordnen: es gibt einige wenige mit kurzer Periode und immer mehr mit wachsender Länge der Periode. Teilstücke von längeren Orbits sind häufig kurzen Orbits benachbart (vgl. z. B. im Lorenz-Applet die beiden IPOs PN und PPNN - letzterer läßt sich in zwei Teile zerlegt denken, die beide dem ersteren eng benachbart sind). Ausgehend von Orbits kurzer Periode lassen sich dynamische und geometrische Eigenschaften eines chaotischen Attraktors unter Berücksichtigung von IPOs immer längerer Periode beliebig genau approximieren [Auerbach87], [Auerbach87a], [Gunaratne87], [Cvitanovic88].

IPOs sind periodische Lösungen der Bewegungsgleichungen eines chaotischen dynamischen Systems,  also geschlossene Kurven im Phasenraum. Aufgrund der Instabilität dieser Lösungen werden sie vom System aber nicht angenommen, sondern das System kann sich nur für kurze Zeit in ihrer Nähe aufhalten. Sie sind vergleichbar mit der Gleichgewichtslage eines senkrecht aufgestellten Stocks - die geringste Störung reicht aus, um das System Stock aus diesem Gleichgewicht zu bringen. Allerdings kann es gelingen, das System durch minimale äußere Eingriffe auf einem IPO zu stabilisieren, ungefähr so, wie sich ein Stock auf einer Fingerspitze balancieren läßt. Das ist die Idee der OGY-Steuerung. Die Dynamik in der lokalen Umgebung eines IPOs wird durch seine stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bestimmt.

Die Lyapunovspektren von IPOs unterscheiden sich im allgemeinen von denen des Attraktors. So findet man z.B. für das Lorenzsystem folgende Werte [Doerner93], die Ziffern in runden Klammern geben dabei die Unsicherheit in der letzten Stelle an:

IPO / Fixpunkt

 

 

 

(0,0,0)

12

-8/3

-23

C+/-

0.094 + 10.19i

0.094 - 10.19i

-13.85

PN

0.9970(5)

0

-14.6640(5)

PPN, PNN

0.964(1)

0

-14.631(1)

PPNN

0.971(1)

0

-14.638(1)

Attraktor

0.910(5)

0

-14.580(5)

Für das getriebene Pendel erhält man bei den Standardparametern folgende Werte (die Bezeichnungen der IPOs sind die gleichen wie im Pendel-Applet):

IPO

 

a

0.26(1)

b, c

0.30(1)

d, e

0.31(1)

f, g

0.42(1)

h, i

0.57(1)

j

0.95(1)

Attraktor

0.160(2)

Die Lyapunovspektren von IPOs erhält man aus den Eigenwerten des linearisierten Flusses, den man durch Integration der Bewegungsgleichungen entlang des IPOs bestimmt. Das Zeitintervall, über das integriert wird, ist dabei die Periode des IPOs. Auffällig sind die hohen Lyapunovexponenten des Fixpunktes (0,0,0) beim Lorenzsystem und des IPOs j beim Pendel. Diese besonders instabilen Objekte beeinflussen entscheidend die kurzfristige Vorhersagbarkeit des Systems.

 

J

Juliamenge

Die Juliamenge zu einer komplexen Zahl c ist die Menge derjenigen komplexen Zahlen z0, für die die Reihe

 zn+1=zn2 +c nicht divergiert. Siehe auch die Illustration unter Mandelbrotmenge.

 

K

KAM-Theorem

KAM-Torus

 

Kaplan-Yorke-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

Ein chaotischer Attraktor liegt z. B bei  =0.2 vor:
Mit Mausklick kann man in den Attraktor hineinzoomen. Wenn der Mauszeiger den Rahmen wieder verläßt, springt der Bildausschnitt auf die Anfangswerte zurück.

 

 

Kaplan-Yorke-Vermutung

liefert einen Zusammenhang zwischen der (Hausdorff-) Dimension eines Attraktors und seinen Lyapunovexponenten [Kaplan79]:

Die Summe läuft über die der Größe nach geordneten Lyapunovexponenten, beginnend beim größten, bis zu dem j-ten. Dieser ist so gewählt, daß die Summe gerade noch positiv ist. In dem einfachen Fall eines dynamischen Systems mit konstanter (negativer) Divergenz und einem dreidimensionalen Phasenraum (Beispiele: Lorenzsystem, getriebenes Pendel, Rösslersystem, Chua-Attraktor, ...) hat das Lyapunovspektrum die Form und die Kaplan-Yorke-Vermutung reduziert sich auf:
Für das Lorenzsystem ergibt sich so bei den Standardparametern mit einem positiven Lyapunovexponenten = 0.91 +/- 0.01 die Kaplan-Yorke-Dimension DKY  = 2.062 +/- 0.001, also nur wenig mehr als 2. Der Attraktor des getriebenen Pendel hat bei den verwendeten Parametern einen positiven Lyapunovexponenten = 0.160 +/- 0.002 und damit die Dimension DKY  = 2.75 +/- 0.01, d. h. er füllt vielmehr Raum aus als der des Lorenzsystems. Dies bestätigt den Eindruck, den man auch bei bloßer Betrachtung der beiden Attraktoren hat.

 

K-Entropie, Kolmogorov-Sinai-Entropie

 

konservativ

Ein dynamisches System heißt konservativ, wenn die Divergenz seines Flussfeldes verschwindet. In sehr guter Näherung sind z. B. Systeme von Himmelskörpern, die miteinander gravitativ wechselwirken (etwa Sonne mit Planeten,  Planeten und Monde), konservativ. Siehe auch dissipativ.

 

L

Liouville, Satz von

Die zeitliche Entwicklung der Größe eines Phasenraumvolumens V(t) (d. h. der Zustände eines Ensembles von dynamischen Systemen, deren Anfangszustände in diesem Volumen liegen) hängt von der Divergenz des zugrundeliegenden Flussfeldes ab. Bei konstanter Divergenz gilt:

V(t) = V(0) exp (divF t)

Das bedeutet insbesondere, daß bei konservativen Systemen dieses Volumen konstant ist und daß es bei dissipativen Systemen exponentiell abnimmt, siehe z. B. [Goldstein83], [Leven89]. Unsere Beispielsysteme getriebenes Pendel und Lorenzsystem haben beide konstante negative Divergenz, und zwar beim Pendel und  beim Lorenzsystem. Als unmittelbare Folge des Satzes von Liouville ergibt sich, daß im Falle konstanter Divergenz auch die Summe aller Lyapunovexponenten eines Systems konstant und gleich der Divergenz sein muß, ebenso die Summe aller effektiven Lyapunovexponenten zu einer Anfangsbedingung und einem Zeitintervall:

  und .

 

 

Lokale Steuerung

Die Methode der lokalen Steuerung eines chaotischen Systems ist der OGY-Methode eng verwandt. Im Gegensatz zur OGY-Methode, bei der ein Steuersignal beim Durchgang durch eine bestimmte Poincaré-Ebene berechnet wird und dann bis zum nächsten Durchgang konstant gehalten wird, arbeitet die lokale Steuerung aber mit einer größeren Anzahl von Poincaré-Ebenen [Hübinger93], [Hübinger93a], [Hübinger94a]. Dadurch ist es möglich, auch extrem instabile Orbits, wie z.B. die des getriebenen Pendels zu stabilisieren. Das Regelsignal wird so berechnet, daß zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Poincaré-Schnitten die Projektion des Abstandes des Systems vom Zielorbit auf die Richtung größter lokaler Divergenz kleiner wird.

Anders als die OGY-Steuerung setzt die lokale Steuerung keine Periodizität der Zieltrajektorie voraus. Das heißt, daß mit der lokalen Steuerungsmethode beliebige Lösungen der Bewegungsgleichungen eines Systems stabilisiert werden können, insbesondere auch nicht-periodische Trajektorien [Hübinger93a].

 

Lyapunov-Exponent

ist ein Maß für die mittlere zeitliche Divergenz von (infinitesimal) eng benachbarten Trajektorien. In einem System mit n-dimensionalem Phasenraum hat man es eigentlich immer mit einem Spektrum von n Lyapunov-Exponenten   zu tun, von denen der größte das Systemverhalten charakterisiert. In einer chaotischen Bewegungsphase ist er positiv und der Abstand zweier infinitesimal eng benachbarter Trajektorien wächst für große Zeiten (d. h. im Limit t nach unendlich) proportional zu . Das gilt nach dem Theorem von Oseledec für fast alle Anfangsbedingungen mit Ausnahme von Fixpunkten und instabilen periodischen Orbits und deren stabilen Mannigfaltigkeiten.

Betrachtet man die Entwicklung von benachbarten Trajektorien für endliche Zeitintervalle, findet man sehr wohl eine signifikante Abhängigkeit des Divergenz- oder Konvergenzverhaltens nicht nur von der Länge des Zeitintervalls, sondern auch von der Lage der Anfangsbedingungen im Phasenraum. Die beschreibenden Exponenten heißen effektive Lyapunovexponenten . In der Literatur werden sie mitunter auch als lokale Lyapunovexponenten bezeichnet, z. B. in [Abarbanel91], [Abarbanel91b].

 

M

Mackey-Glass-System

Diese Differentialgleichung wurde aufgestellt, um einen biologischen Vorgang, nämlich die Regeneration von Blutzellen bei Leukämiepatienten, zu modellieren [Mackey77]:

dx/dt = ax(t-s) / {1 + [x(t-s)]c}  -  bx(t)

Darin bedeutet x(t) die Zellenkonzentration zur Zeit t, und x(t-s) die Konzentration zur früheren Zeit t-s. Um diese Gleichung integrieren zu können, muß man die Größe x nicht nur zu einem Zeitpunkt, sondern den Verlauf während eines Zeitraums der Länge s kennen. Formal hat man damit unendlich viele Anfangsbedingungen und somit eine unendlich-dimensionale Differentialgleichung. Es zeigt sich aber, daß die Dimension des chaotischen Attraktors, der z.B. bei den Parameterwerten a=0.2, b=0.1, c=10.0, s=17.0 vorliegt, nur ca. 2.1 beträgt [Grassberger83b].

 

Mandelbrotmenge

ist die Menge derjenigen komplexen Zahlen c, für die die Folge zn+1 = zn2 + c mit z1 = 0 nicht divergiert. Diese nach ihrem Entdecker (1980) Benoit Mandelbrot benannte Menge ist das wohl bekannteste Fraktal [Mandelbrot82], [Peitgen86]. Wegen ihrer eigentümlichen Ästhetik ist sie geradezu zur Ikone der nichtlinearen Dynamik geworden. Mittlerweile kann man sich auf jedem PC selbst Ausschnitte der Mandelbrotmenge visualisieren, entweder mit selbstgeschriebenen oder fertigen Programmen. Das folgende Applet zeigt links die Mandelbrotmenge und rechts die jeweils zur Cursorposition gehörende Juliamenge:

Mit Mausklick kann man im linken Teilbild in die Mandelbrotmenge hineinzoomen. Rechts wird die jeweils zur Cursorposition gehörende Juliamenge dargestellt.

 

 

Mannigfaltigkeiten, stabile und instabile

Die Dynamik eines Systems in der lokalen Umgebung eines IPOs wird durch seine stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bestimmt. Diese sind (n-1)-dimensionale Unterräume des n-dimensionalen Phasenraums. Systemzustände auf der stabilen Mannigfaltigkeit Ws konvergieren im Laufe der Zeit gegen den IPO, Systemzustände auf der instabilen Mannigfaltigkeit Wu konvergieren gegen ihn, wenn man die Zeit rückwärts laufen läßt. Wenn nun eine Trajektorie in die Nähe der stabilen Mannigfaltigkeit kommt, nähert sie sich dem Orbit entlang dieser Mannigfaltigkeit, um sich dann entlang der instabilen Mannigfaltigkeit wieder zu entfernen. Je näher das System dabei dem IPO kommt, desto länger “begleitet” es ihn. Das Systemverhalten scheint dann bei oberfächlicher Betrachtung für kurze Zeit periodisch zu sein, um dann wieder irregulär zu werden. Solche Phasen lassen sich gut z. B. im Pendel-Applet beobachten.

 

Melnikov-Methode

Die Melnikov-Methode ist ein analytisches Verfahren, das es gestattet, für eine bestimmte Klasse von Systemen eine Aussage über die Existenz von chaotischen Lösungen zu treffen. Es handelt sich dabei um nicht-autonome, periodisch schwach angetriebene, schwach gedämpfte Systeme, zu denen ein nicht angetriebenes System mit einem homoklinen Fixpunkt existiert.

Bsp: das getriebene gedämpfte Pendel, wenn Dämpfung   und Antrieb a klein genug sind. Das zugehörige nichtgetriebene System ist das mathematische Pendel mit der Bewegungsgleichung  d/dt (x, v) = (v, -sin(x)) , dessen Fixpunkt ( , 0) einen homoklinen Orbit besitzt.

Man betrachtet nun die Dämpfung und den Antrieb als Störung des ungetriebenen Systems und schreibt die Bewegungsgleichung des getriebenen Systems als Summe aus der des ungestörten Systems und einem Term proportional einem kleinen Störparameter .

Bsp: die Pendelgleichung wird damit zu .

Für genügend kleine  existiert dann ein periodischer Orbit, dessen Schnittpunkt mit jeder Poincaré-Ebene t = const. für verschwindende gegen den Fixpunkt des ungestörten Systems strebt. Anschaulich gesprochen kann man sich den Orbit als aus dem Fixpunkt hervorgegangen vorstellen.

Bsp: das getriebene gedämpfte Pendel hat einen instabilen periodischen Orbit in der Nähe des Überschlagpunktes. Im Java-Applet läßt sich dieser Orbit als UPO j einstellen. Der Überschlagpunkt ist zugleich der Fixpunkt des ungetriebenen Pendels.

Die Idee der Melnikov-Methode ist nun, zu prüfen, ob und unter welchen Bedingungen sich die stabile und  die instabile Mannigfaltigkeit des periodischen Orbits für genügend kleine unter einem positiven Winkel schneiden (also nicht etwa im Schnittpunkt tangential verlaufen). In diesem Falle liegt ein hyperbolischer Orbit vor und es sind chaotische Lösungen der Bewegungsgleichungen zu erwarten. Für weitere Einzelheiten siehe z. B. [Leven89]

 

N

 

O

 

OGY-Steuerung

Verfahren, um ein System in der chaotischen Bewegungsphase zu stabilisieren, indem man seine Trajektorie durch minimale Regeleingriffe entlang eines seiner instabilen periodischen Orbits leitet, benannt nach den Initialen von E. Ott, C. Grebogi und J. A. Yorke, die das Verfahren vorgeschlagen haben [Ott90]. Bei diesem Verfahren wartet man zunächst ab, bis die Trajektorie eine festgelegten Poincaré-Ebene in der Nähe eines IPOs schneidet. Dann wird das Regelsignal eingeschaltet und dadurch die lokale Systemdynamik um den IPO herum verändert. Das Signal ist so bemessen, daß die neue lokale Systemdynamik die Trajektorie bis zum nächsten Durchgang durch die Poincaré-Ebene auf die stabile Mannigfaltigkeit des IPOs des ungestörten Systems leitet, so daß die Trajektorie dann von allein gegen den IPO konvergiert. Da dies nicht exakt gelingen kann und da der IPO instabil ist, muß in jeder Periode ein neues Regelsignal ermittelt werden. Weil die Zieldynamik, auf die das System gelenkt werden soll, eine - wennauch instabile - Lösung der Bewegungsgleichungen ist (ein IPO), ist die Energie, die zur Steuerung notwendig ist, klein im Vergleich zur Bewegungsenergie des Systems.

 

Dynamik in der Nähe eines hyperbolischen IPOs (vgl. IPO) auf einer Poincaré-Ebene: eine Trajektorie (Durchstoßpunkt durch die Poincaré-Ebene ist blau dargestellt) nähert sich entlang der stabilen Mannigfaltigkeit dem IPO, wird aber gleichzeitig entlang der instabilen Mannigfaltigkeit abgestoßen. 
Dynamik bei aktiver Regelung. Sobald die Trajektorie dem gewünschten IPO nahe genug kommt (1) wird die Steuerung aktiviert und dadurch die Lage des IPOs und seiner Mannigfaltigkeiten verschoben (2), so daß beim nächsten Durchgang durch die Poincaré-Ebene die Trajektorie auf der stabilen Mannigfaltigkeit des ursprünglichen IPOs liegt (3) und die Steuerung wieder abgeschaltet werden kann (4). Die Trajektorie konvergiert dann gegen den unverschobenen IPO (5 und 6). Da der IPO instabil ist, kann die Steuerung nicht völlig abgeschaltet werden, sondern muß in jeder weiteren Periode die auftretenden Abweichungen neu kompensieren.

Die notwendige Größe des Steuersignals   ergibt sich zu (Herleitung siehe [Ott90]):

Darin bedeutet den Eigenwert der in der Umgebung des IPO linearisierten Poincaré-Abbildung, der zur instabilen Mannigfaltigkeit gehört (je instabiler, umso größer ist sein Betrag). Der Vektor fu ist ein sogenannter kontravarianter Basisvektor, er gibt die Richtung senkrecht zur stabilen Mannigfaltigkeit an. Der Vektor ist der zu kompensierende (kleine) Abstand der Trajektorie vom IPO in der Poincaré-Ebene und der Vektor w beschreibt die Wirksamkeit der Steuerung, nämlich die Ableitung der Poincaré-Abbildung nach dem Steuersignal. Welche physikalische Größe man zur Steuerung verwendet, hängt vom jeweiligen System ab. Beim getriebenen Pendel bietet sich z.B. ein zusätzliches  Drehmoment an.

 

Oseledec-Matrix, -Theorem

 

P

Pfefferkuchenmann-Abbildung

2-dimensionale, stückweise lineare, konservative Abbildung:

xn+1 =

 1 - yn + |xn|

yn+1 =

 xn

Je nach Wahl des Startpunktes erhält man eine chaotische oder periodische Folge von Bildpunkten. Die Menge aller Punkte der rellen Ebene, für die man eine chaotische Folge von Iterationen erhält, erinnert an die Form eines Lebkuchenmannes (“gingerbreadman”) [Devaney84] .
Zehn zufällig ausgewählte Startpunkte werden je 10000mal iteriert. Alle Iterationen desselben Startpunktes haben dieselbe Farbe. Mit Mausklick kann man in die Struktur hineinzoomen. Mit der Taste “New” werden weitere 10 Startpunkte generiert und iteriert. Die Taste “Reset” stellt den ursprünglichen Bildbereich wieder her. Trajektorien, die innerhalb der hexagonalen Bereiche starten, sind periodisch, während die dazwischen liegenden chaotisch sind. Da die Abbildung konservativ ist, gibt es (wie bei Hénons Twist-Abbildung ) keinen Attraktor.

 

Phasenraum

Vektorraum, der von einem vollständigen Satz von Systemvariablen aufgespannt wird. Jeder Punkt des Phasenraums beschreibt eindeutig einen Systemzustand.

 

Poincaré-Ebene, -Abbildung

Eine Poincaré-Ebene ist eine Ebene im Phasenraum eines dynamischen Systems. Man betrachtet die Durchstoßpunkte der Trajektorie durch diese Ebene und kann so ein komplizierteres dynamisches System auf ein etwas einfacheres zurückführen, z.B. um seine Dynamik besser zu visualisieren oder um die Dimension eines Attraktors zu bestimmen. Die Funktion, die einen Durchstoßpunkt auf den nächsten abbildet, heißt Poncaré-Abbildung (englisch oft “first return map”). Ein System, das z.B. einen 3-dimensionalen Phasenraum hat und dessen Dynamik durch eine 3-dimensionale Differentialgleichung beschrieben wird, läßt sich so auf eine Abbildung der reellen Ebene auf sich selbst reduzieren. Allerdings läßt sich in den meisten Fällen keine analytische Darstellung dieser Abbildungsfunktion finden, sondern sie läßt sich nur durch numerische Integration der Bewegungsgleichungen bestimmen. Es gibt aber auch einfache Fälle wie den sogenannten kicked rotator, in denen sich die Poincaré-Abbildung als einfache Funktion darstellen läßt [Schuster88].

.

Poincaré-Schnitt durch den Lorenz-Attraktor bei Z=27.

Oft sind durch die Symmetrie des Systems bestimmte Poincaré-Ebenen ausgezeichnet. Beim Lorenz-Attraktor bietet sich zum Beispiel die hier dargestellte Ebene Z=27 an, die senkrecht zur Z-Achse steht und die beiden instabilen Fixpunkte C+ und C- in der Mitte der Attraktor-”Flügel” enthält. Diese Ebene wird bei jedem Umlauf der Trajektorie um einen der beiden Flügel einmal aus positiver Z-Richtung und einmal aus negativer Z-Richtung kommend geschnitten, so daß sich die insgesamt vier Äste a, b, c, d ausbilden.

Poincaré-Abbildung des getriebenen Pendels, die die Ebene t=0 auf sich selbst abbildet. Das linke Teilbild zeigt den Auslenkungswinkel nach Ablauf einer Antriebsperiode in Abhängigkeit vom Startpunkt des Pendels, das rechte die Winkelgeschwindigkeit, jeweils farblich codiert. Die Palette ganz rechts zeigt, welche Farbe zu welchem Wert von Winkel, bzw. Winkelgeschwindigkeit gehört.

Die Poincaré-Abbildung eines dissipativen Systems ist dissipativ, der Attraktor einer solchen Poincaré-Abbildung ist der Poincaré-Schnitt durch den Attraktor des zugrundeliegenden Systems, wie die folgende Abbildung illustriert:

Die ersten drei Iterationen der Poincaré-Abbildung P: (x0, v0) --> (xt, vt) des getriebenen Pendels. Oben links sind die 4 Quadranten der Poincaré-Ebene t=0 gleichmäßig eingefärbt. Auf jeden Punkt dieser Fläche wird nun die Poincaré-Abbildung dreimal angewendet. Rechts oben ist die erste Iteration zu sehen, links unten die zweite und rechts unten die dritte. Man erkennt, daß die Iterationen gegen den Poincaré-Schnitt mit dem Pendel-Attraktor konvergieren. (Außerdem erkennt man hier auch wieder, daß der Zusammenhang anfangs benachbarter Punkte  je nach Startgebiet mehr oder wenger schnell verloren geht).

Wenn man ein nicht-autonomes System numerisch integriert und eine Poincaré-Ebene senkrecht zur Zeitachse legt, so lassen sich die Durchstoßpunkte der Trajektorie problemlos erhalten, wenn man die Schrittweite des Integrationsverfahrens so wählt, daß die Zeit zwischen zwei Durchstößen ein ganzzahliges Vielfaches ist. Anders bei autonomen Systemen: hier liegt der Durchstoßpunkt in der Regel mitten in einem Integrationsintervall, so daß man im nächsten Stück den letzten Schritt mit einer kleineren Schrittweite wiederholen muß, u.U. sogar in mehreren Versuchen. Ein effektives Verfahren zur Bestimmung einer geeigneten Schrittweite ist in [Henon82] beschrieben.

 

Poincaré-Bendixson-Theorem

 

Q

QP-, QR-Zerlegung

Quantenchaos

 

R

Rabinovich-Fabrikant-Gleichungen

Dreidimensionales DGL-System

das für bestimmte Bereiche der Sytemparameter chaotische Attraktoren besitzt [Rabinovich79], [Grassberger83b], z.B. für die Werte = 1.1 und = 0.87 den folgenden:

Der Attraktor kann mit gedrückter linker Maustaste gedreht werden. Der umgebende Kasten hat die Koordinaten -2 < X < 0, -0.5 < Y < 2.5 und  0 < Z < 2.

 

 

Rayleigh-Benard-Experiment

In diesem Experiment wird eine Flüssigkeitsschicht an der Unterseite beheizt und an der Oberseite gekühlt (Bratpfanne!). Bei geeigneter Wahl der Systemparameter Schichtgeometrie, Dichte, Viskosität und Wärmeleitfähigkeit der verwendeten Schicht sowie Größe des Temperaturgradienten, bilden sich in der Schicht Konvektionszellen aus. Das Temperatur- und Strömungsgeschwindigkeitsfeld dieser Zellen genügt drei Gleichungen: Navier-Stokes-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung und Kontinuitätsgleichung. Durch eine Reihe von Vereinfachungen [Schuster88]  erhält man aus diesen Gleichungen die Lorenz-Gleichungen:  

X ist darin ein Maß für die Rotationsgeschwindigkeit der Konvektionszellen, Y ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen aufsteigender und absteigender Strömung und Z beschreibt die Abweichung des vertikalen Temperaturprofils von der Linearität. Die Konstanten  , R und b sind die Prandtl-Zahl, die dimensionslose Rayleigh-Zahl und ein geometrischer Faktor.

 

 

Rekonstruktion eines Attraktors

siehe Delay-Koordinaten.

 

Repellor

 

Rössler-System

Dreidimensionales Gleichungssystem, das für bestimmte Bereiche der Systemparameter einen chaotischen Attraktor besitzt [Roessler76]:

dX/dt = - (Y+Z)

dY/dt = X + aY

dZ/dt = b + Z(X - c)

Für die Parameterkombination a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 existiert folgender Attraktor: 

Der Attraktor kann mit gedrückter linker Maustaste gedreht werden. Der umgebende Kasten hat die Koordinaten -12 < X, Y < 12 und -6 < Z < 30. Von oben, d. h. aus Richtung positiver Z - Werte betrachtet, werden die Trajektorien entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen. Man erkennt, daß pro Umlauf das “Band”, aus dem der Attraktor in seinem flachen Teil besteht, quer zur Flußrichtung gedehnt und einmal auf sich selbst zurückgefaltet wird. Dieses Strecken und Falten, das für seltsame Attraktoren typisch ist, bewirkt eigentlich eine blättrige fraktale Struktur des Attraktors, die aber wegen der sehr starken Konvergenz der Trajektorien (hauptsächlich) in Z - Richtung nicht in Erscheinung tritt.

 

 

Routen ins Chaos

 

S

Schmetterlingseffekt

So veranschaulichte E. Lorenz die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedinungen (s. Chaos), die er in seinen Gleichungen fand. Dahinter steht die Vorstellung, daß die geringfügige Luftbewegung, die der Flügelschlag eines Schmetterlings verursacht, zu einer Wetterentwicklung führen kann, die sich völlig von der unterscheidet, die ohne diesen Luftzug stattgefunden hätte. (Um Mißverständnissen vorzubeugen: selbstverständlich ist das Wetter ein räumlich ausgedehntes, hochkomplexes System mit unüberschaubar vielen Einflußgrößen und deshalb nicht durch einen einfachen Satz von Gleichungen zu beschreiben. Es ist aber ein hydrodynamisches System und als solches den gleichen Regeln unterworfen, aus denen auch die Lorenz-Gleichungen hergeleitet sind).

 

Shadowing

Sinai-Billard

 

Stabilität, strukturelle

Ein dynamisches System heißt bei einem gegebenen Satz von Systemparametern strukturell stabil, wenn sich bei kleinen Änderungen dieser Systemparameter seine Dynamik qualitativ nicht ändert. Wenn jedoch in der Umgebung dieser Parameterwerte z. B. Attraktoren verschwinden und/oder neue entstehen, ist das System an diesem Punkt strukturell instabil. Solche qualitativen Änderungen heißen Bifurkationen. Ein typisches Beispiel für Bifurkationen sind die sogenannten Heugabelbifurkationen (engl. pitchfork bifurcations) oder Periodenverdopplungen, die z. B. die logistische Abbildung bei bestimmten Werten des Systemparameters r zeigt. Eine andere Art einer Instabilität ist die Hopf-Bifurkation, bei der aus einem Fixpunkt ein periodischer Orbit entsteht.

 

Steuerung von Chaos

 

T

Takens-Theorem

 

Tinkerbell-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

xn+1 =

xn2 - yn2 + c1xn + c2yn

yn+1 =

2xnyn + c3xn + c4yn

 

 

Ein chaotischer Attraktor existiert z. B. bei den Parametern c1=0.9, c2=-0.6013, c3=2.0, c4=0.4:

Mit Mausklick kann man in den Attraktor hineinzoomen. Wenn der Mauszeiger den Rahmen wieder verläßt, springt der Bildausschnitt auf die Anfangswerte zurück.

 

Transientes Chaos

 

Trajektorie

Die Punkte, die ein dynamisches System in seinem Phasenraum im Laufe der Zeit durchläuft. Üblich ist der Begriff vor allem bei Systemen mit kontinuierlicher Zeitskala. Trajektorienstücke sind dort zusammenhängende Linien im Phasenraum, wie sie z.B. die Applets für das getriebene Pendel und das Lorenzsystem zeigen.

 

U

V

Van der Pol - Oszillator

 

Vorhersagbarkeit

Aufgrund der sensitiven Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen läßt sich das Verhalten eines nichtlinearen Systems in der deterministisch-chaotischen Bewegungsphase nur für einen begrenzten Zeitraum vorhersagen. Je größer der größte Lyapunov-Exponent des Systems ist, desto kürzer ist im Mittel dieser Zeitraum. Er ist jedoch keineswegs konstant, sondern hängt systematisch von der momentanen Lage des betrachteten Systems im Phasenraum (genauer: von dem zu diesem Zustand und dem Vorhersagezeitintervall gehörenden größten effektiven Lyapunovexponenten) ab [Doerner93], [Doerner99]. Die stabilen Mannigfaltigkeiten der instabilsten periodischen Orbits und ihre nähere Umgebung bilden diejenigen Bereiche, für die Vorhersagen der geringsten Güte zu erwarten sind. Falls man in der Wahl der Zeitpunkte, zu dem Vorhersagen erstellt werden sollen, frei ist, läßt sich durch geschickte Wahl dieser Zeitpunkte eine erhebliche Verbesserung der Vorhersagegüte erreichen [Doerner94].

Die Abbildung zeigt links den größten effektiven Lyapunovexponenten des Pendels als Maß für die kurzfristige Vorhersagbarkeit auf der Poincaré-Ebene zur Antriebsphase 0 für ein Vorhersageintervall von einer Antriebsperiode. Waagerecht ist der Auslenkungswinkel, senkrecht die Winkelgeschwindigkeit des Pendels aufgetragen. Gebiete mit niedrigen sind blau, solche mit hohen Werten sind hellrot bis gelb gefärbt. Im rechten Teilbild sind auf der gleichen Poincaré-Ebene die Durchstoßpunkte von sechs IPOs des Pendels (dunkle Punkte) und die Schnittlinien ihrer stabilen Mannigfaltigkeiten eingezeichnet. Man erkennt, daß Zonen schlechter Vorhersagbarkeit (im linken Bild gelb) sich entlang der stabilen Mannigfaltigkeiten der IPOs ausbilden.

 

W

X

Y

Z

Zaslavskij-Abbildung

Zweidimensionale Abbildung:

Bei den Parameterwerten liegt ein chaotischer Attraktor vor:
Mit Mausklick kann man in den Attraktor hineinzoomen. Wenn der Mauszeiger den Rahmen wieder verläßt, springt der Bildausschnitt auf die Anfangswerte zurück.

 

 

Zeitreihenanalyse

   


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