1. Hénon-Abbildung

Ebenso wie die logistische Abbildung ist das Hénon-System ein System mit einer diskreten Zeitskala n=1, 2, ... . Es besitzt einen Freiheitsgrad mehr, denn während die log. Abbildung das eindimensionale Intervall [0..1] auf sich selbst abbildet, sind die Hénon-Gleichungen auf der reellen Ebene definiert. Außerdem besitzen nicht nur einen, sondern zwei Systemparameter, a und b:

Der Hénon-Attraktor eignet sich gut, um zwei wesentliche Charakteristika chaotischer Systeme zu veranschaulichen. Das erste ist die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Systeme, die die gleichen Systemparameter haben, sich aber in den Anfangsbedingungen unterscheiden, und sei es noch so geringfügig, bewegen sich im Laufe der Zeit auseinander - und zwar im zeitlichen Mittel sogar exponentiell. Die zweite Eigenschaft heißt Ergodizität. Vereinfacht gesprochen verteilt sich eine große Anzahl gleicher Systeme, die zwar die gleichen Systemparameter, aber unterschiedliche Startpunkte hatten, (ein sogenanntes “statistisches Ensemble”) nach Ablauf einer hinreichend langen Zeit zu einem ansonsten beliebigen festen Zeitpunkt ebenso auf dem Attraktor wie die Folge der Iterationen eines einzigen (fast beliebigen) Startpunktes.

Bedienung des Applets: Anfangs zeigt das Applet eine Menge von Startpunkten, die auf der Peripherie eines kleinen Kreises liegen. Der Kreis  läßt sich per Mausklick neu positionieren. Durch Druck auf die Iterate-Taste wird die Hénon-Abbildung auf jeden dieser Punkte einmal angewendet. Die Kreislinie wird im Laufe mehrerer Iterationen immer stärker verzerrt (sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen!), bis schließlich die gesamte Silhouette des Henon-Attraktors sichtbar wird. Durch Drücken der Taste Randomize läßt sich eine völlig andere, “wolkenartige” Menge von zufällig verteilten Startwerten erzeugen. Auch hier konvergieren die Iterationen der meisten dieser Startpunkte schließlich gegen den Hénon-Attraktor. Ein gewisser Anteil divergiert allerdings und trägt dann nicht mehr zum Bild bei. Die Ursache dieser Divergenz ist, daß das sogenannte Attraktionsbasin des Hénon-Attraktors nicht die gesamte reelle Ebene umfaßt, sondern nur einen kleinen Bereich (ungefähr U-förmig). Schon nach wenigen Iterationen formen die Bilder beider Mengen von Anfangsbedingungen den bekannten Attraktor, der auch von der Folge der Iterationen eines einzelnen Startpunktes gezeichnet wird (Ergodizität!).

Die Hénon-Abbildung ist dissipativ, d. h. ein Phasenraumvolumen (= ein Stückchen der x,y-Ebene) wird unter dieser Abbildung kontrahiert, sonst könnte kein Attraktor entstehen.Man überzeugt sich davon, indem man die Determinante der zugehörigen Jacobimatrix berechnet. Die Jakobimatrix lautet:

Ihre Determinante ist somit -b. Ein Volumen wird also um den Faktor |-b| komprimiert, wenn b kleiner als 1 ist.

Andere zweidimensionale dissipative Abbildungen sind z.B. die Ikeda-Abbildung, die Kaplan-Yorke-Abbildung, die Tinkerbell-Abbildung oder die Zaslavskij-Abbildung.

2. Hénons quadratische Twist-Abbildung

Von M. Hénon stammt die Untersuchung einer weiteren zweidimensionale Abbildung, deren Verhalten sich völlig von der oben beschriebenen unterscheidet, die quadratische Twist-Abbildung [Henon69]:

Für den Grenzfall x_n² << y_n beschreibt diese Abbildung einfach eine Drehung um den Winkel . Dieser Drehung ist eine quadratische (und somit nicht-lineare) Störung überlagert, die sich umso stärker auswirkt, je größer x_n ist. Im Gegensatz zur Hénon-Abbildung ist diese Abbildung konservativ, denn ihre Jacobimatrix

hat die Determinante 1. Somit hat diese Abbildung keine Attraktoren. Vielmehr zeigt sie das Verhalten Hamiltonscher chaotischer Systeme.

Wie man in dem Java-Applet leicht ausprobieren kann, zeigt das System für geeignete Werte von   Ketten von “Inseln”, die durch “unruhigere” Bereiche von einander getrennt sind. Im Zentrum jeder solchen Insel befindet sich jeweils ein elliptischer Fixpunkt. Um diesen Fixpunkt liegt eine dichte Schicht von quasiperiodischen Orbits. Wenn das System auf einem solchen Orbit startet, umrundet es den Fixpunkt, ohne je wieder genau seinen Ausgangspunkt zu treffen (die einfarbigen deformierten Ellipsen bestehen jeweils aus den Iterationen eines solchen Startpunktes). Zwischen diesen “Inseln” liegen hyperbolische Fixpunkte, das sind solche, die eine stabile und eine instabile Mannigfaltigkeit besitzen, die sich unter positivem Winkel schneiden. In  der Nähe dieser Fixpunkte findet man chaotische Bereiche mit völlig irregulären Iterationen.

Literatur

Natürlich wird die Hénonabbildung ebenso wie die log. Abbildung in vielen Lehrbüchern wie z. B. [Guckenheimer83] oder [Schuster88] behandelt. Zuerst beschrieben wird sie in [Henon76]. In [Feit78] wird numerisch die Abhängigkeit des größten Lyapunovexponenten von den Systemparametern untersucht. Hier findet man auch Darstellungen des Attraktionsbasins. Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten des Henon-Systems (und verwandter Systeme) sind Gegenstand von [Franceschini81] und [Tel82]. Um die systematische Suche nach instabilen periodischen Orbits im Hénon-Attraktor geht es in [Grassberger89]. Zur Twist-Abbildung findet man außer in [Henon69] z.B. auch in [Lichtenberg83] weitere Informationen.